Série d’exercices

Exercice 1

Pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$, on pose $$f_n(x)=\frac{n}{1+n(1+x)}.$$

1. Montrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 1}$ converge simplement sur $[0,+\infty[$ vers une fonction $f$ que l’on précisera.
2. Montrer que la convergence est en réalité uniforme sur $[0,+\infty[$.

Exercice 2

Étudier la convergence simple des suites de fonctions $(f_n)_{n\geq 0}$ suivantes :

1. $f_n(x)=e^{-nx}\sin(2nx)$ sur $\mathbb{R}^+.$
2. $f_n(x)=\frac{1}{(1+x^2)^n}$ sur $\mathbb{R}.$

Exercice 3

On considère pour $n\geq 1$, les fonctions :

$$f_n(x) = x-\frac{1}{n},  g_n(x) = x\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg),   h_n(x) = x\bigg(1-\frac{1}{n^2}\bigg).$$

Discuter la convergence simple et uniforme de ces suites de fonctions.

Exercice 4

On considère la série de fonctions $\sum x^{2n}$

1. Étudier la convergence simple de cette série sur $[0\,,\,1 [.$
2. Étudier la convergence uniforme de cette série sur $[0\,,\,\frac{1}{2}].$

Exercice 5

Étudier la convergence simple et la convergence normale de la série de fonction

$\sum\frac{x^n}{1+x^n}$ sur $[0\,,\,1 ]$, puis sur $[0\,,\,\frac{1}{3} ].$

Exercice 6

Pour $x\geq 0$, on pose $u_n (x) =\frac{x}{x^2+n^2}$.

1. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ converge simplement dans $\mathbb{R}_{+}$.
2. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n $ converge uniformément sur tout intervalle $[0,a]$, avec $a>0$.
3. Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac{1}{5}$.
4. En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}_{+}$.
5. Montrer que la série $\sum_1^{+\infty}(-1)^{n}u_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}_{+}$.
6. Montrer que la série $\sum_1^{+\infty}(-1)^{n}u_n $ converge normalement sur tout intervalle $[0,a]$, avec $a>0$.
7. Montrer que la série $\sum_1^{+\infty}(-1)^{n}u_n$ ne converge pas normalement sur $\mathbb{R}_{+}$.