Soit $(\phi_n)_{n\in \N}$ la suite réelle définie par :

$\phi_0=0, \phi_1=1$  et $\forall n\in \N, \phi_{n+2}=\phi_{n+1}+\phi_{n}$.

1.  Calculons $\phi_n$ en fonction de $n$

Cette suite est une suite récurrente d’ordre 2 dont les premiers termes sont connus.

Son équation caractéristique est $r^2=r+1$ soit

$$r^2-r-1=0$$

Ses racines sont $$ r_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ et }  r_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

D’après la propriété des suites récurrentes d’ordre 2, $\phi_n$ s’écrit sous  la forme :

$$\phi_n=ar_1^n+br_2^n$$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.

Déterminons $a$  et  $b$ en utilisant les deux premiers termes :

Pour $n=0$, on a $\phi_0=0$, donc $a+b=0$

De même, pour $n=1$, on a $\phi_1=1$, soit $ar_1+br_2=1$

On a donc le système suivant (en remplaçant $a$ et $b$ par leur valeur) :

$\begin{cases}
a+b=0 \quad (1) \\[0.5cm]
a\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+b\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)=1 \quad (2)
\end{cases}$

De l’équation (1), nous avons $a=-b$ ; en remplaçant $b$ par $-a$ dans l’équation (2), nous obtenons $a=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Par suite $b=-\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Nous avons donc $\phi_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ soit

\[\phi_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\]