• Nestor Djintelbé a publié une note il y a 8 mois

    Nombre d’or et Suite de Fibonacci (A. Camanes)

    La petite histoire…

    Considérons une famille de lapins autoreproduisants, c’est-à-dire que chaque lapin peut engendrer des lapins tout seul. Les lapins sont également supposés immortels. . .

    On suppose qu’à l’aube des temps, un lapin naquit. Le mois suivant, ce lapin fut adolescent et le mois d’après il engendra un autre lapin. Le mois suivant, le premier lapin engendra encore un autre lapin, alors que le deuxième faisait sa crise d’adolescence. Ainsi tous les mois, chaque lapin ayant deux mois ou plus, donna naissance à un lapin de plus.

    Combien de lapins étaient en vie après 6 mois ? et après $n$ mois ?

    Un moyen de répondre à cette question de manière plus générale est d’étudier la suite donnant le nombre $u_n$ de lapins vivant au bout de $n$ mois. Elle vérifie la relation
    $$u_{n+2} = u_{n+1} + u_n.$$
    La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est la suite de Fibonacci (du nom du mathématicien qui l’a décrite en 1202 dans son traité intitulé Liber abaci, premier ouvrage vulgarisant les chiffres arabes en occident). Le document attaché ci-dessous décrit comment trouver le nombre de lapins à la génération $n$ .
    Le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} $ donne le taux d’accroissement mensuel de la population lapins, et tend vers le célèbre nombre d’or $\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

    Le document décrit également comment approcher le nombre d’or. Ce dernier a des vertus mystiques et biologiques. Il est relié par exemple à l’angle séparant deux graines contiguës dans une fleur de tournesol. . .